Главная  /  Переменка  / Занимательные задания / Угадывание чисел

Угадывание чисел

Версия для печати

 

Размер шрифта: Мелкий Средний Большой


О каком угадывании идет речь?
     Конечно, дело, в сущности, сводится не к отгадке, а к решению некоторой задачи. Желающему предлагают задумать число и этого числа у него не спрашивают. Взамен этого предлагают задумавшему произвести над задуманным им числом разные с виду совсем произвольные действия и сказать "угадывающему", что в результате получилось. "Угадчик" получает, таким образом, в руки конец нити, по которой разматывает весь клубок и добирается до начала.
     Задаваемые в остроумной и забавной форме, которую каждый играющий может придумать по своему вкусу, задачи эти представляют очень хорошее и полезное развлечение для всех играющих. Они развивают навыки в быстром устном счете и развивают их постепенно, так как можно задумывать малые и большие числа, смотря по желанию и силам участвующих в игре лиц.
     Обращаем внимание на то, что здесь в большинстве случаев даются только сравнительно сухие остовы задач. Читателю предоставляется самая широкая возможность каждое условие подобной задачи украсить плодами собственной выдумки и фантазии или приноровить к известному случаю. 

 

Угадать число 
      Возьмем числа от 1 до 12 и расположим их по кругу. Можно смело взяться угадать задуманное кем-либо число из этого круга.
     Можно, очевидно, для той же цели взять часы и предложить угадать задуманный кем-либо час. Можно также пользоваться домино, очками лото и т.д.
     Как же угадать задуманное число?
     Пусть кто-либо задумает про себя любое из чисел круга. Затем укажите ему сами любое число на этом круге и прибавьте про себя к этому числу 12 (т.е. наибольшее число круга). Вы получите некоторое число, и это число вы скажете громко. Пусть потом задумавший считает про себя от задуманного им числа, притрагиваясь сначала к указанному вами числу, а потом к каждому следующему числу по кругу, идя в обратном порядке, и пусть считает до сказанного вами громко числа. Когда он досчитает до него, последовательно притягиваясь к числам, то остановится как раз на задуманном им числе или часе.
     Пусть, например, кто-либо задумал на круге 5, а вы указываете, например, 9, прибавляете к нему про себя 12 и получаете 21. Затем говорите громко задумавшему:
- Считайте про себя, начиная от задуманного вами числа, до 21, но, начиная счет, притроньтесь сначала к 9, потом к 8, потом к 7 и т.д., идя по кругу в обратном порядке, когда же досчитаете до 21, то скажите это число громко и остановитесь. Задумавший исполнит сказанное ему, и когда досчитает до 21, то как раз сам укажет задуманное им число 5.
     Можно обставить эту задачу еще таинственнее, например, так.
     Кто-нибудь задумывает какое-нибудь число (например, 5). Вы берете, например, число 9, прибавляете к нему мысленно 12, получаете 21 и говорите задумавшему:
- Теперь я буду стучать карандашом (или пальцем), и при каждом стуке вы прибавляете про себя к задуманному вами числу по единице. Но, когда досчитаете до 21, скажите громко: "21".
     Затем стучите по 9, по 8, по 7 и т.д. ..., по 12, по 11 и т.д. ... Задумавший число в это время про себя будет считать 5, 6, 7 и т.д., но когда скажет громко: "21", то окажется, что вы стучите как раз по задуманному им числу.
- Вы задумали число 5! - говорите вы ему.
- Совершенно верно! - ответит вам задумавший, удивляясь, как вы могли узнать это, если он сам не знает, в чем разгадка этого будто бы фокуса.

Сколько осталось предметов?
     Предложите своему товарищу взять в каждую руку по одинаковому количеству предметов (например, спичек). При этом надо потребовать, чтобы число предметов в одной руке было не меньше, чем некоторое число b. Число взятых предметов вам не известно. Предложите партнеру переложить из правой руки в левую, то число предметов, которое вы ему скажете (например, число а; естественно, что а< b). Затем, ничего не показывая и не говоря вам, пусть он отложит из левой руки столько предметов, сколько у него осталось в правой, и, наконец, опять-таки ничего вам не показывая, пусть он отложит в сторону все предметы из правой руки. Теперь вы можете смело утверждать, что у вашего партнера осталось в левой руке 2а предметов.
     Почему?

Чему равна разность?
     Попросите своего товарища написать любое двузначное число, но пусть затем он поменяет местами в этом числе цифры и вычтет из большего числа меньшее. Если он скажет вам последнюю цифру разности, то вы сразу скажете, какова вся разность.
     Как это сделать?

Чему равно частное?
     Попросите своего товарища написать любое трехзначное число, но только такое, чтобы крайние цифры отличались друг от друга на число, которое вы укажете. Пусть затем он поменяет местами в этом числе крайние цифры. Получится еще одно число. Предложите вашему товарищу вычесть меньшее число из большего. Разность всегда делится на 9, и вы можете всегда сказать наперед, какое будет частное от деления этой разности на 9.
     Чему же равняется частное?

Число 1089
     Предыдущую задачу можно предлагать в следующем более занимательном (особенно для детей) варианте.
     Напишите на бумажке число 1089, вложите бумажку в конверт и запечатайте его. Затем предложите кому-нибудь, дав ему этот конверт, написать на нем трехзначное число, но такое, чтобы крайние цифры в нем были различны и отличались бы друг от друга более чем на единицу. Пусть затем он поменяет местами крайние цифры и вычтет из большего трехзначного числа меньшее. В результате пусть он опять переставит крайние цифры и получившееся трехзначное число прибавит к разности первых двух. Когда он получит сумму, предложите ему вскрыть конверт. Там он найдет бумажку с числом 1089, которое, к его удивлению, и есть полученное им число.
     Почему так произошло?

Какое число задумано?
     Попросите своего товарища задумать число, пусть затем он удвоит задуманное число и к полученному произведению прибавит 5. Потом пусть полученное число возьмет пять раз и прибавит к результату число 10. Эту последнюю сумму пусть он умножит еще на 10. Если после этого спросить, какое, в конце концов, получилось число, и отнять от него 350, то число оставшихся сотен и будет задуманным числом.
     Почему это так?
     Пусть, например, задумано 3. По удвоении его получается 6; если прибавить 5, получится 11; взять пять раз 11 - получится 55; прибавить сюда 10 - получится 65; увеличить в 10 раз - получится 650. Если отнять отсюда 350, остается 300, т.е. три сотни. Итак, задуманное число есть 3.

Волшебная таблица  

 
5

4

3

2

1
  16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
8
9
10
11
12
13
14
15
24
25
26
27
28
29
30
31
4
5
6
7
12
13
14
15
20
21
22
23
28
29
30
31
2
3
6
7
10
11
14
15
18
19
22
23
26
27
30
31
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
  16 8 4 2 1
Вот таблица, в которой в пяти столбцах написаны известным образом все числа от 1 до 31. Таблица эта отличается следующим "волшебным свойством".
     Задумайте какое угодно число (но, конечно, не больше 31) и укажите только, в каких столбцах этой таблицы находится задуманное вами число, а я тотчас же "угадаю" это число.
     Если, например, вы задумаете число 27, то скажите только, что задуманное вами число находится в 1-м, 2-м, 4-м и 5-м столбцах; а я уже сам вам скажу, что вы задумали именно число 27. (Можно это сказать, даже не глядя на таблицу.)
     Вместо такой таблицы можно смастерить Волшебный веер. Сделайте сами или купите подходящий веер, и на пяти пластинках его выпишите изображенную выше таблицу. Можете, обвевая себя веером, предложить вашему собеседнику задумать число и указать вам только пластинки, на которых оно написано. Вы тотчас угадаете задуманное число.
     Но в чем секрет?

Четное число
     Задумайте четное число. Утройте его. Возьмите половину полученного числа и опять утройте ее. Если вы скажете, чему равно частное от деления найденного числа на 9, то я назову задуманное число.
     Пусть задумано 6. После утроения получается 18. Половина этого числа равна 9. Утроив, получаем 27.  Если теперь разделить на 9, то получится 3, т.е. половина задуманного числа.
     Этот фокус можно показывать и в более общем виде, предлагая задумать произвольное целое число. При этом вводятся некоторые изменения.
     Если утроенное задуманное число на два не делится, то к утроенному числу нужно сначала добавить 1, а потом разделить на 2 и действовать, как и ранее. Нужно также иметь в виду, что в этом случае при угадывании числа после удвоения нужно обязательно прибавить 1.
     Пусть, например, задумано число 5. Утраивая, получаем 15. Чтобы разделить пополам нацело, нужно прибавить 1, получится 16. Половина от 16 равна 8, утроив, получаем 24. Частное от деления с остатком этого числа на 9 равно 2. Умножая это число на 2 и прибавляя 1, получаем задуманное число 5.
     Если вы показываете этот фокус в первый раз и утроенное число на 2 не делится, то ваш товарищ обязательно спросит: "А что делать, если число на 2 не делится?" Этот вопрос укажет вам, что при угадывании нужно удвоенное частное увеличить на 1. Вы можете и сами спросить, разделилось ли число на 2. Нужно только, чтобы этот вопрос прозвучал как попытка помочь вашему товарищу в выполнении арифметических действий и он не заподозрил бы, что его ответ на этот вопрос поможет вам в угадывании задуманного числа.
     В чем секрет этого фокуса?

Видоизменение предыдущей задачи
     Утроить задуманное число, затем взять половину произведения, если же произведение получится нечетное, то прибавить к нему единицу и потом разделить пополам. Утроить снова эту половину, затем взять половину полученного числа, прибавляя, как выше, 1, если от умножения на 3 получится нечетное число.      Затем надо спросить, чему равно частное от деления последнего числа на 9, и частное умножить на 4. При этом нужно иметь в виду, что если при делении на 2 в первый раз приходилось прибавлять 1, то угадывающему нужно тоже держать в уме 1, а если при делении и во в горой раз приходилось прибавлять 1, то нужно запомнить еще 2. Следовательно, если оба раза деление на 2 не могло быть выполнено нацело без прибавления 1, то, умножив частное на 4, нужно к полученному числу прибавить еще 3; если же деление пополам нацело не выполняется только в первый раз, то прибавляется 1, а если только во второй, то прибавляется 2. В результате всегда получится задуманное число. Почему?
     Пусть, например, задумано 7; утраивая, получим 21; чтобы разделить пополам нацело, надо прибавить 1; прибавляя ее и деля 22 пополам, получим 11; по утроении получим 33; чтобы взять половину, опять нужно прибавить 1, после чего получим 34, половина этого числа есть 17. Здесь 9 содержится только 1 раз.      Следовательно, нужно взять число 4 и к нему прибавить еще 3, так как деление и в первом и во втором   случае совершалось лишь после прибавления 1. Получается: 4 3 = 7, т.е. задуманное число.

Еще одно видоизменение предыдущей задачи
     Задумайте число; прибавьте к нему половину того же числа; к полученной сумме прибавьте половину этой же суммы. Затем нужно спросить, чему равно частное от деления последнего числа на 9, и умножить его на 4, как выше. Но и здесь, как всегда, нужно помнить, что если в первом случае число не делится нацело на 2, то нужно прибавить к нему 1 и затем поделить на две равные части; точно так же нужно поступать и во втором случае. А затем, если деление нацело не выполнялось только в первом случае, то угадывающий должен держать в уме 1, если только во втором, то 2, а если и в первом и во втором, то 3 и эти числа соответственно потом прибавлять для получения правильного ответа.
     Например, задумано число 10; прибавляя к нему его половину, получим 15-число нечетное; поэтому, прибавляя к нему 1 и беря половину, получим 8; прибавляя 8 к 15, получим 23; в этом числе 9 содержится 2 раза. Два раза по четыре равно 8, но к 8 надо прибавить еще 2, потому что во втором случае, чтобы разделить на 2 нацело, приходилось прибавлять 1. Итак, 8 2 =10, т. е. получаем задуманное число.
     Если число нечетное, то разделим его на две такие части, чтобы одна была на единицу больше другой, и условимся для краткости называть первое слагаемое большей половиной, а второе - меньшей. Тогда рассматриваемую нами задачу можно представить еще в одной довольно интересной форме.
     Задумайте число. Прибавьте к нему его половину или, если оно нечетное, то его "большую половину", К этой сумме прибавьте ее половину или, если она нечетна, то ее "большую половину". Сколько раз в полученном числе содержится 9?
     Умножив затем частное на 4, задумавшему число надо предложить такие вопросы: можно ли от остатка от деления на 9 отнять еще 8? Если можно, то, значит, чтобы получить задуманное число, нужно, к числу, полученному от умножения частного на 4, прибавить 3.
     Если же нельзя отнять 8, то надо спросить, нельзя ли отнять 5. Если можно, то нужно прибавить 2. Если же 5 нельзя вычесть, то спросить, нельзя ли вычесть 3, и если можно, то прибавляется 1.
     Легко убедиться, что задача, предложенная в этой последней форме, сводится,` в сущности, к предыдущим, потому что утроить число и взять потом половину полученного произведения - это все равно, что прибавить к числу его половину и т.д.
     Понявший и всесторонне усвоивший решения приведенных выше задач в их различных видоизменениях может сам легко создать множество правил, подобных предыдущим, для угадывания задуманного числа.
     Можно, например, заставить утроить задуманное число, затем взять половину полученного произведения, эту половину предложить умножить уже на 5 и взять половину произведения. Вслед за тем спросить, чему равно частное от деления последнего числа на 15, и умножить его на 4. При этом, как и раньше, нужно к произведению прибавлять 1, 2 или 3, смотря по тому, когда деление на 2 не совершается нацело: в первом случае, во втором или в обоих вместе.
     Внимательный читатель легко все это докажет сам. Можно также, например, предложить умножить задуманное число на 5, взять половину полученного произведения, эту половину опять умножить на 5, полученное снова разделить на 2, а затем спросить, чему равно частное от деления найденного числа на 25, и умножить его на 4. При этом нужно иметь в виду опять-таки случаи, когда деление на 2 совершается нацело, а когда нег, и прибавить 1, 2 или 3, где следует, или же не прибавлять ничего, если деление на 2 в обоих случаях было нацело.
     Словом, предложенные задачи можно разнообразить всячески.

Угадать задуманное число иным способом
     Сначала нужно поступать, как в предыдущих задачах, т.е. предложить утроить задуманное число, взять половину (или "большую половину") полученного произведения, утроить эту половину и взять снова половину (или "большую половину") полученного числа. Но затем вместо вопроса, чему равно частное от деления последнего числа на 9, можно попросить назвать все цифры, которыми пишется это последнее число, кроме одной, лишь бы эта неизвестная отгадывающему цифра не была нуль.
     Точно так же необходимо, чтобы загадывающий сказал и порядок, цифр - как тех, которые уже ни названы, так и той, которая угадывающему еще неизвестна.
     После этого, чтобы узнать задуманное число, надо сложить все цифры, которые названы, и отбросить от этой суммы 9 столько раз, сколько возможно. Остаток, который после этого получится, надо вычесть из 9, и тогда получится неизвестная цифра; или же, если остаток будет нуль, то неизвестная цифра и есть 9.    Поступают именно так в том случае, если оба раза деление пополам совершалось нацело. Если же, чтобы разделить число пополам, приходилось прибавлять 1 в первый раз, то нужно сначала к сумме известных цифр прибавить еще 6 и поступать затем, как указано.
     Если для деления пополам приходилось прибавить 1 только второй раз, то к той же сумме нужно   добавить 4.
     Если в обоих случаях деление не совершалось сразу нацело и приходилось прибавлять по 1, то к сказанной сумме нужно прибавить 1.
     Найдя таким образом неизвестную цифру последней половины, мы узнаем и саму половину. Узнав же, сколько раз в ней заключается по 9, взяв соответствующее число раз по 4 и прибавляя, когда нужно, 1, 2 или 3, получим искомое задуманное число.
     В чем секрет?
     Например, задумано 24. Утроив и разделив два раза, находим, что последняя половина есть 54. Пусть задумавший число назовет угадывающему первую цифру 5. Тогда вычитанием 5 из 9 получается вторая цифра 4. Итак, последняя половина есть 54. В ней 9 содержится 6 раз. Следовательно, задуманное число есть 4 Х 6 = 24.
     Положим, что задумано 25. Утраивая и беря половину произведения, утраивая эту половину и беря снова половину, находим 57. Но нужно помнить, что в первом случае, чтобы получить половину, приходилось прибавлять 1; поэтому, если задумавший число объявит, например, первую цифру 5, то надо к 5 прибавить 6, получится 11, отбрасывая 9, получим 2, вычитая 2 из 9, получим вторую цифру 7. Итак, вторая половина 57; в ней 9 содержится 6 раз. Отсюда задуманное число равно 4 Х 6 1 = 25.
     Пусть задумавший число скажет, что последняя полученная им половина числа состоит из трех цифр, что две последние цифры суть 13 и что для деления пополам нацело приходилось во второй раз прибавлять 1. В таком случае к сумме 1 3=4 нужно прибавить еще 4, получается 8. Вычитая 8 из 9, получим 1.      Следовательно, последняя половина есть 113; в ней 9 содержится 12 раз. Поэтому задуманное число есть 4Х12 2=50.
     Точно так же, если бы задумавший число сказал, что после утроений и делений на 2 он получил трехзначное число, в котором первая цифра 1, а последняя 7, и что в обоих случаях при делении на 2 приходилось прибавлять по 1, то на основании предыдущего поступаем так: 1 7 1=9, Отбрасывая 9, получим в остатке нуль, т.е. неизвестная цифра последней половины есть 9, и сама эта половина есть 197, где 9 содержится 21 раз. Отсюда по предыдущему заключаем, что задуманное число есть 4Х21 3=87.

Угадать задуманное число еще одним способом
     Изложим теперь способ, который с виду кажется замысловатее других, хотя объясняется очень легко,
     Пусть кто-нибудь задумает какое-либо число. Затем предложите ему умножить это число на какое угодно заданное нами другое число, полученное произведение разделить на какое угодно заданное вами число, затем результат опять умножить на какое вам угодно число, это произведение опять разделить на какое угодно заданное вами число и т. д. Если угодно, то можно предоставить тому, кто задумал число, самому умножать и делить задуманное число на какие ему угодно числа, лишь бы он сообщал каждый раз, на какое число он множит и на какое делит. Но, чтобы угадать задуманное число, сам угадывающий пусть в то же время возьмет какое-либо число и проделывает над ним все те же самые умножения и деления, что и задумавший число. Остановившись затем на каком-либо делении, попросите задумавшего число, чтобы он разделил на задуманное им число то последнее число, которое он получил. Точно так же и вы (угадывающий) разделите последнее вами полученное число на взятое вами первоначально. Тогда у вас получится то же число, что и у задумавшего число. После этого пусть задумавший число прибавит к полученному им в уме частному задуманное число и скажет вам результат. Вычитая из этого результата известное уже вам число, получаете задуманное число. Почему?
     Пусть, например, кто-нибудь задумает число 5. Предложите ему умножить его на 4; результат (20) разделить на 2 (получится 10), полученное число умножить на 6 (получится 60), это последнее произведение разделить на 4 (получится 15). Но, в то же время вы сами должны выбрать какое-либо число п делать над ним все те же действия. Пусть, например, вы возьмете 4 (лучше, вообще, брать для удобства 1). Умножая на 4 вы получаете 16; деля на 2, вы получаете 8; умножая на 6, вы получаете 48; деля это число на 4, вы получаете 12. Вслед за тем вы говорите задумавшему число, чтобы он последнее полученное им число ( т. е. 15) разделил на задуманное (т. е. на 5). У него получается 3.
     Если вы в то же время свое последнее число 12 разделите на взятое вами сначала, т. е. на 4, то получите также 3, Сделав вид, что вам неизвестно полученное вашим партнером частное, вы говорите ему, чтобы он прибавил к полученному им числу задуманное число и сказал вам результат; он, конечно, скажет вам в этом примере 8. Отнимая от 8 полученное вами уже частное 3, найдете задуманное вашим партнером число 5.

Угадать несколько задуманных чисел
     I. Пусть кто-нибудь задумает нечетное число каких-либо чисел, т. е. 3 или 5, или 7, или 9 и т.д. чисел, и пусть он скажет вам сумму первого и второго чисел, затем суммы второго и третьего, третьего и четвертого и т.д., наконец, сумму последнего из задуманных им чисел и первого.
     Возьмите эти суммы в том же порядке, как они сказаны вам, и сложите вместе все те, которые стоят на нечетных местах (т. е. 1-ю с 3-й, с 5-й и т.д.), а затем сложите все те, которые стоят на четных местах (т. е. 2-ю с 4-й, с 6-й и т. д.), и вычтите из первого результата второй. Остаток и даст удвоенное первое задуманное число. Беря половину этого остатка, получаем само число. Зная его, нетрудно найти остальные числа, так как суммы первого и второго, второго и третьего и т. д. известны. Почему так получается?

     II. Если же кто-нибудь задумает четное число чисел, то, как и выше, пусть он скажет суммы задуманных чисел по два (первого со вторым, второго с третьим и т. д.), но в конце пусть объявит сумму не последнего с первым задуманным числом, но последнего со вторым. После этого опять нужно сложить все суммы, стоящие на нечетных местах, кроме первой, затем все суммы, стоящие на четных местах, и из второго результата вычесть первый. Остаток и дает удвоенное второе задуманное число. Почему?

Угадать задуманное число, ничего не спрашивая у задумывающего
     Предложите кому-либо задумать число, затем пусть он умножит задуманное число на произвольно выбранное вами число, к этому числу пусть он прибавит любое данное вами число и полученную сумму разделит на данное вами же произвольное число. В то же время данный вами множитель разделите в уме на данный делитель, - сколько единиц и частей единицы заключается в полученном частном, столько раз предложите задумавшему число отнять от полученного им частного задуманное число, и вы тотчас же скажете ему остаток, который он получил. Этот остаток всегда равен частному, полученному от деления того числа, которое вы дали, чтобы прибавить к произведению, на данный вами же делитель. Почему?
     Пусть, например, кто-нибудь задумает 6; предложите ему умножить его на 4, получится 24; предложите прибавить 15; получится 39. Пусть разделит на 3; получится 13. Деля в уме в то же время 4 на 3, вы получаете 4/3, или 1 1/3. Поэтому предложите задумавшему число отнять от полученного им частного задуманное число да еще одну треть этого числа (т.е. шесть да еще два - всего восемь): 13 - 8 = 5, остается 5. Тот же результат получится, если вы данное вами число 15 разделите на данный вами же делитель 3.
     Предложенная задача дана здесь в довольно общем виде. Употребляется часто такой ее частный случай.      Заставляют удвоить задуманное число, затем прибавить к результату произвольное, но четное число, затем заставляют полученную сумму разделить на 2 и из частного вычесть один раз задуманное число.      Остаток, конечно, всегда получится равным половине прибавленного раньше четного числа. Очевидно, однако, что интереснее решать задачу в общем виде. Тем более, что при этом можно практиковаться в дробях. Если же почему-либо нежелательно получать дроби, то всегда можно подобрать такие числа, чтобы дробей не получалось.

Кто выбрал четное число?
     Даны два числа - одно четное, другое нечетное, и предложено двум лицам взять одному четное число, а другому - нечетное, как кто пожелает. Угадать, кто выбрал четное, а кто нечетное.
     Вы предлагаете, например, Петру и Ивану два числа (одно четное и другое нечетное), например 10 и 9. Из них один, уже без вашего ведома, берет четное, а другой - нечетное число. Чтобы угадать, какое кто взял число, вы тоже возьмите два числа, четное и нечетное, например 2 и 3, предложите, чтобы Петр взятое им число умножил про себя на 2, а Иван свое число - на 3, после чего пусть они сложат полученные ими числа и скажут вам полученную сумму. Или же пусть скажут только, четное или нечетное число они получили после сложения, так как вам нужно знать только это. Если же хотите задачу сделать более непонятной, то выведайте это у них другим путем (предлагая, например, разделить полученную ими сумму на 2 и сказать, делится или не делится она нацело, и т.д.). Положим, вы узнали, что получилась четная сумма; тогда ясно, что число, умноженное на 3 , было четное, т.е. Иван взял четное число 10, а Петр - нечетное 9. Если же после сложений у них получилась нечетная сумма, то ясно, что тот взял нечетное число, кому вы предложили умножить его число на 3.
     Дайте обоснование этого способа угадывания.

Та же задача с двумя взаимно простыми числами
     Предложите двоим заметить любое из данных двух чисел, но таких, чтобы эти числа были между собой взаимно простые, как, например, 9 и 7, и, кроме того, чтобы одно из них было составное (как в данном примере 9). Множителями, на которые вы хотите, чтобы умножили замеченные числа, возьмите также два взаимно простых числа, но таких, чтобы одно из них содержалось целое число раз в одном из чисел, данных на выбор. Например, если взять 3 и 2, то эти числа и взаимно простые и 3 есть множитель 9. Вслед за тем предложите одному умножить выбранное им число на 2, а другому - на 3, сложить результаты и сказать вам или полученную сумму, или же сказать, делится ли эта сумма нацело на тот данный нами множитель, который, в свою очередь, содержится в одном из предложенных вами на выбор чисел. (Например, во взятом нами примере узнать, делится ли число на 3.) Узнав это, сразу можно определить, кто какое число заметил. В самом деле, если полученная сумма делится на 3, это значит, что на 3 умножено число, не делящееся на 3, т. е. 7; наоборот, если полученная сумма не делится на 3, то это значит, что на 3 было умножено число, делящееся на 3, т.е. 9. Точно так же поступают и в тех случаях, когда берутся и предлагаются другие числа, лишь бы они удовлетворяли изложенным выше условиям. Дайте объяснение этого способа угадывания.

Отгадать несколько задуманных чисел, если каждое из них не превышает десяти
     Попросите задумавшего умножить первое из задуманных чисел на 2 и к произведению прибавить 5, полученную сумму умножить на 5 и к результату прибавить 10. К полученному числу прибавить второе задуманное число и все умножить на 10; к полученному результату прибавить третье задуманное число и опять умножить на 10; потом прибавить четвертое из задуманных чисел и опять умножить на 10 и т.д.      Словом, пусть задумавший несколько чисел, каждое из которых не превышает десяти, постоянно умножает на 10 и прибавляет одно из задуманных чисел, пока не прибавит последнего. Вслед за тем пусть задумавший числа объявит последнюю полученную им сумму; и если задумано только два числа, то, вычтя из этой суммы 35, найдем, что число десятков остатка дает первое задуманное число, а число простых единиц дает второе задуманное число. Если же задумано три числа, то из сказанной вам суммы вычтите 350, и тогда число сотен даст первое задуманное число, число десятков - второе, число простых единиц - третье. Если задумано четыре числа, то из сказанной вам суммы вычтите 3500, и тогда число тысяч остатка даст первое задуманное число, число сотен - второе, число десятков - третье; число простых единиц - четвертое. Ясно, что в случае пяти задуманных чисел нужно из сказанного вам результата вычитать 35000 и т.д.
     Пусть, например, задуманы 3, 5, 8, 2. Удваивая первое из них, получаем 6; прибавляя 5, находим 11; умножая это число на 5, имеем 55; прибавляя 10, получаем 65; прибавляя второе задуманное число, получаем 70; умноженное на 10, оно дает 700; прибавляя сюда третье задуманное число, получаем 708; умножая на 10, получаем 7080; прибавляя сюда четвертое число, получаем 7082. Если теперь из этого последнего числа вычесть 3500, то получится остаток 3582, который и выражает по порядку цифр задуманные числа: 3, 5, 8, 2.
     Дайте объяснение предложенного способа угадывания.
     Эту задачу, можно, очевидно, видоизменять и прилагать ко многим частным случаям.
     Так, например, при игре в кости (Кость - это кубик, на каждой из 6 граней которого написано по одной цифре от 1 до 6) с помощью этой задачи можно угадать, не глядя, число выброшенных каждой костью очков. И это тем более легко, что число очков каждой кости не превышает шести. Способ угадывания и правила остаются совершенно те же.

Версия для печати

 
Курсы

Занковские чтения

Конкурсы

Марафон

Журнал "Практика образования"

Купить литературу

Обмен опытом

Мультимедиа

Внимание!

Обо всех замеченных ошибках просьба сообщать администратору сайта, на почту

Для корректного отображения сайта просьба использовать браузеры Mozilla Firefox 3 и выше, Opera 9 и выше, Chrome, Internet Explorer 7 и выше.

Сохраним для школы учебники системы Л.В. Занкова!
20 лет Федеральному научно-методическому центру им. Л.В. Занкова
Написать письмо На главную Карта сайта Помощь

АВТОРИЗАЦИЯ

e-mail

пароль



Забыли пароль?